## Симуляция стохастических процессов

**Симуляция стохастических процессов** является важным инструментом в прикладной математике, физике, экономике, биологии и компьютерных науках. Стохастические процессы используются для формального описания систем, эволюция которых **не может быть однозначно предсказана** из-за наличия случайных факторов. В отличие от детерминированных моделей, такие процессы опираются на вероятностные законы и распределения.

Классическим определением стохастического процесса является семейство случайных величин, индексированных временем или пространством. **Ключевая особенность стохастических моделей — зависимость будущего состояния системы не только от текущего, но и от случайной компоненты**. Это делает аналитическое решение сложным или невозможным, что обуславливает необходимость численного моделирования.

![](изображение_2026-01-19_023744357.png)

Симуляция позволяет **приближённо воспроизводить траектории процесса**, исследовать их статистические свойства и оценивать вероятностные характеристики: математическое ожидание, дисперсию, автокорреляцию, распределения предельных состояний. Для этого широко применяется метод Монте-Карло, основанный на многократной генерации случайных реализаций.

![](изображение_2026-01-19_023809365.png)

На практике часто рассматриваются такие модели, как **случайное блуждание, цепи Маркова, пуассоновские процессы и броуновское движение**. Каждая из них имеет строгое математическое описание, но при этом хорошо поддаётся компьютерной реализации. Например, броуновское движение моделируется как сумма независимых приращений, распределённых нормально с нулевым средним и дисперсией, пропорциональной шагу времени.

                ______________________________________________________________________________
                | Процесс               | Ключевая характеристика      | Типичное применение |
                | --------------------- | ---------------------------- | ------------------- |
                | Случайное блуждание   | Независимые шаги             | Финансовые модели   |
                | Цепь Маркова          | Отсутствие памяти            | Теория очередей     |
                | Пуассоновский процесс | Случайные события во времени | Потоки заявок       |
                | Броуновское движение  | Непрерывные траектории       | Физика, финансы     |
                |_______________________|______________________________|_____________________|

**Важным аспектом симуляции является корректная генерация случайных чисел**. Используемые псевдослучайные генераторы должны обладать хорошими статистическими свойствами, иначе результаты моделирования могут быть искажены. Также существенную роль играет выбор шага дискретизации: слишком крупный шаг приводит к потере точности, слишком малый — к избыточным вычислениям.

Симуляция стохастических процессов применяется для **проверки гипотез, оценки рисков, прогнозирования и исследования чувствительности моделей к параметрам**. Несмотря на приближённый характер, при корректной постановке задачи и достаточном числе реализаций результаты обладают высокой практической ценностью.